Guía de Estudio: Ecuaciones Diferenciales y Circuitos

Documento compilado con desarrollo analítico paso a paso para no perder el rigor matemático.

1. Teoría: Ecuaciones No Exactas y el Factor Integrante

Si una ecuación diferencial $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ No es exacta, entonces:

Respuesta Teórica

...entonces se debe multiplicar por un Factor Integrante $\mu$ para convertirla en una ecuación exacta.

El Análisis (Por qué falla y la cura)

1. El Diagnóstico: Decimos que la ecuación "no es exacta" porque al hacer nuestra prueba de derivadas parciales cruzadas, los resultados no coinciden. Es decir:

$$ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $$

2. La Cura (El Factor Integrante): Para "arreglar" esta desigualdad, multiplicamos absolutamente todos los términos de la ecuación original por una función especial $\mu$. La ecuación se transforma en:

$$ \mu \cdot M(x,y) \, dx + \mu \cdot N(x,y) \, dy = 0 $$

3. El Resultado: Al realizar este micro-paso algebraico, la nueva ecuación se equilibra. Si volviéramos a hacer la prueba de derivadas cruzadas con estos nuevos términos agregados, ahora sí darían igual:

$$ \frac{\partial}{\partial y} (\mu M) = \frac{\partial}{\partial x} (\mu N) $$

2. Cálculo: Derivada Parcial con respecto a "y"

La derivada parcial con respecto a $y$ para la función es $f(x,y) = \sin y - y \sin x$
Regla de Oro: Al derivar respecto a $y$, debemos tratar a la variable $y$ como nuestra única variable real, mientras que asumimos que la variable $x$ (y cualquier función que dependa exclusivamente de $x$) se comporta como un número constante.

Desarrollo Paso a Paso

  1. Planteamiento del operador: Aplicamos el operador a toda la función: $$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \sin y - y \sin x \right) $$
  2. Ley de linealidad: Separamos el operador para cada término: $$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin y) - \frac{\partial}{\partial y}(y \sin x) $$
  3. Derivar el primer término: La derivada del seno es el coseno: $$ \frac{\partial}{\partial y}(\sin y) = \cos y $$
  4. Derivar el segundo término: La expresión $\sin x$ actúa como una constante, por lo que sale del operador: $$ \frac{\partial}{\partial y}(y \sin x) = \sin x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y) $$ Sabiendo que la derivada de $y$ es $1$: $$ \sin x \cdot (1) = \sin x $$
  5. Ensamblar la respuesta final: $$ \frac{\partial f}{\partial y} = \cos y - \sin x $$

3. Prueba Analítica: Comprobación de Exactitud

La ecuación diferencial es Exacta: $(5x + 4y)dx + (4x - 8y^3)dy = 0$

El "Porqué": La Prueba de Exactitud

Para que sea exacta, se debe cumplir que sus derivadas parciales cruzadas sean idénticas: $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$.

  1. Identificamos $M$ y $N$:
    • El bloque que acompaña a $dx$ es nuestra $M$: $M(x,y) = 5x + 4y$
    • El bloque que acompaña a $dy$ es nuestra $N$: $N(x,y) = 4x - 8y^3$
  2. Calculamos la derivada de $M$ respecto a $y$: Tratamos a $x$ como constante. $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x + 4y) = 0 + 4 = 4 $$
  3. Calculamos la derivada de $N$ respecto a $x$: Tratamos a $y$ como constante. $$ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(4x - 8y^3) = 4 - 0 = 4 $$
  4. Conclusión: Al comparar ambos resultados, vemos que $4 = 4$. Queda demostrado que la ecuación sí es exacta.

4. Cálculo: Derivada Parcial con respecto a "x"

La derivada parcial con respecto a $x$ para la función es $f(x,y) = \sin y - y \sin x$
Regla de Oro (versión x): Como vamos a derivar respecto a $x$, la variable $y$ (y cualquier función que dependa exclusivamente de $y$) se comporta como un número constante.

Desarrollo Paso a Paso

  1. Separación del operador: $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin y) - \frac{\partial}{\partial x}(y \sin x) $$
  2. Derivando el primer término (La trampa): Como no hay ninguna $x$, toda la expresión $\sin y$ es constante. Su derivada es cero. $$ \frac{\partial}{\partial x}(\sin y) = 0 $$
  3. Derivando el segundo término: La variable $y$ actúa como una constante y "sale" del operador: $$ \frac{\partial}{\partial x}(y \sin x) = y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\sin x) = y \cos x $$
  4. Ensamblaje Final: Restamos el resultado del paso 3 al paso 2: $$ \frac{\partial f}{\partial x} = 0 - y \cos x = -y \cos x $$

5. Modelado Aplicado: Circuito RC en Serie (Carga)

Se aplica una fuerza electromotriz de $100 \text{ V}$ a un circuito en serie RC, donde la resistencia es de $200 \text{ } \Omega$ y la capacitancia es de $10^{-4} \text{ F}$. Determine la carga $q(t)$ en el capacitor.

1. Extracción de Datos y Principio Físico

Por la Segunda Ley de Kirchhoff, la suma de las caídas de voltaje en el resistor y el capacitor iguala al voltaje de la fuente: $V_R + V_C = E(t)$. Utilizando $V_R = R \frac{dq}{dt}$ y $V_C = \frac{1}{C} q(t)$, obtenemos nuestra EDO base:

$$ R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = E(t) $$

2. Sustitución y Estandarización

Sustituimos $E(t)=100$, $R=200$, y $C=10^{-4}$:

$$ 200 \frac{dq}{dt} + \frac{1}{10^{-4}} q = 100 $$

Como $\frac{1}{10^{-4}} = 10000$, dividimos toda la ecuación entre $200$ para dejar a la derivada sola:

$$ \frac{dq}{dt} + 50 q = \frac{1}{2} $$

3. Cálculo del Factor Integrante ($\mu$)

Tenemos la forma $\frac{dq}{dt} + P(t)q = f(t)$ donde $P(t) = 50$.

$$ \mu(t) = e^{\int 50 \, dt} = e^{50t} $$

4. Solución General y Particular

Multiplicamos la ecuación estándar por $\mu(t)$ e integramos:

$$ \int \frac{d}{dt} \left( e^{50t} \cdot q \right) \, dt = \int \frac{1}{2} e^{50t} \, dt $$ $$ e^{50t} \cdot q = \frac{1}{100} e^{50t} + K $$ $$ q(t) = 0.01 + K e^{-50t} $$

Asumiendo que el capacitor parte descargado ($q(0)=0$):

$$ 0 = 0.01 + K(1) \implies K = -0.01 $$

Solución Final de la Carga:

$$ q(t) = 0.01(1 - e^{-50t}) $$

6. Solución Completa: Ecuación Diferencial Exacta (Parte 1)

Resolver la ecuación diferencial: $2xy \, dx + (x^2 - 1) \, dy = 0$

Desarrollo del Método de 4 Pasos

Asumiendo que ya comprobamos que es exacta ($\frac{\partial M}{\partial y} = 2x$ y $\frac{\partial N}{\partial x} = 2x$), buscamos la función $F(x,y) = C$.

  1. Integrar $M$ con respecto a $x$: $$ F(x,y) = \int M(x,y) \, dx = \int 2xy \, dx $$ La variable $y$ sale como constante: $$ F(x,y) = 2y \int x \, dx = 2y \left(\frac{x^2}{2}\right) + g(y) $$ Simplificando: $$ F(x,y) = x^2y + g(y) $$
  2. Derivar $F(x,y)$ con respecto a $y$: $$ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y + g(y)) = x^2(1) + g'(y) = x^2 + g'(y) $$
  3. Igualar a $N(x,y)$ para hallar $g'(y)$: $$ x^2 + g'(y) = x^2 - 1 $$ Cancelamos $x^2$ en ambos lados: $$ g'(y) = -1 $$
  4. Integrar $g'(y)$ para hallar $g(y)$ y ensamblar: $$ g(y) = \int -1 \, dy = -y $$ Sustituimos $g(y)$ en nuestro paso 1 para obtener la función final igualada a una constante $C$: $$ x^2y - y = C $$

Solución Explícita Final

Factorizamos la $y$ para despejarla:

$$ y(x^2 - 1) = C $$ $$ y = \frac{C}{x^2 - 1} $$

7. Matemáticas Financieras: Modelo de Interés Discreto

Se depositan $\$5000$ dólares en una cuenta que paga el $8\%$ de interés anual. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta en el decimoctavo cumpleaños?
Nota de Ingeniería: Al no indicar la palabra "continuamente", el problema exige usar el modelo de interés discreto, donde los intereses se calculan y se suman al capital una sola vez al año.

Desarrollo Paso a Paso

Definimos el modelo matemático estándar para interés compuesto discreto:

$$ A_n = P(1 + r)^n $$

Identificamos nuestros datos:

  • Capital principal: $P = 5000$
  • Tasa de interés decimal: $r = \frac{8}{100} = 0.08$
  • Periodos (años): $n = 18 - 0 = 18$

Sustituimos en el modelo y resolvemos la jerarquía de operaciones:

$$ A_{18} = 5000 \cdot (1 + 0.08)^{18} $$ $$ A_{18} = 5000 \cdot (1.08)^{18} $$

Evaluamos la potencia (el factor de crecimiento):

$$ (1.08)^{18} \approx 3.9960195 $$

Multiplicación final:

$$ A_{18} = 5000 \cdot 3.9960195 \approx 19980.0975 $$

Solución: Redondeando, el monto acumulado es de $\$19,980$ dólares.

8. Aplicación de Circuitos: Cálculo de la Corriente $i(t)$

Conociendo que la función de carga en un capacitor es $q(t) = 0.01 - 0.01 e^{-50t}$, determine la función de la corriente $i(t)$.

Principio Físico

Por definición electromagnética, la corriente eléctrica es la tasa de cambio de la carga con respecto al tiempo. Matemáticamente, es la derivada de $q(t)$:

$$ i(t) = \frac{dq}{dt} $$

Desarrollo Analítico

  1. Planteamiento del operador: $$ i(t) = \frac{d}{dt} \left( 0.01 - 0.01 e^{-50t} \right) $$
  2. Derivación de términos:
    • La derivada de la constante $0.01$ es $0$.
    • Para el término exponencial, aplicamos la regla de la cadena: la derivada de $e^{u}$ es $e^{u} \cdot u'$.
    $$ \frac{d}{dt} \left( -0.01 e^{-50t} \right) = -0.01 \cdot \frac{d}{dt}(-50t) \cdot e^{-50t} $$ $$ = -0.01 \cdot (-50) \cdot e^{-50t} $$
  3. Cálculo Final: Multiplicamos los coeficientes: $$ -0.01 \cdot -50 = 0.5 $$

Solución Final de la Corriente:

$$ i(t) = 0.5 e^{-50t} \text{ A} $$

9. Teoría Avanzada: Factor Integrante dependiente de "y"

¿Cómo encontrar el factor integrante a partir de una ecuación no exacta si se busca una dependencia exclusiva para la variable $y$?

Protocolo Analítico Paso a Paso

  1. Construir la función $P(y)$: Restamos las derivadas parciales cruzadas en un orden específico y dividimos entre $M$: $$ P(y) = \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} $$
  2. Condición de Supervivencia: Si al simplificar el álgebra de esa fracción el resultado depende únicamente de la variable $y$ (es decir, todas las $x$ se cancelan por completo) o es una constante pura, el método es válido.
  3. Aplicar la fórmula exponencial: El factor integrante $\mu(y)$ se obtiene colocando $P(y)$ en una integral en el exponente de $e$: $$ \mu(y) = e^{\int P(y) \, dy} $$

Al multiplicar toda la ecuación original por este $\mu(y)$, las derivadas parciales se equilibrarán y la ecuación se transformará en exacta.

10. Solución Completa: Ecuación Diferencial Exacta (Parte 2)

Resolver la ecuación exacta: $(5x + 4y)dx + (4x - 8y^3)dy = 0$

Desarrollo del Método de 4 Pasos

Ya demostramos que es exacta (ambas derivadas parciales cruzadas son $4$). Buscamos $F(x,y) = C$.

  1. Integrar $M$ con respecto a $x$: $$ F(x,y) = \int (5x + 4y) \, dx $$ Integramos cada término tratando a $y$ como constante: $$ F(x,y) = 5\left(\frac{x^2}{2}\right) + 4yx + g(y) $$ $$ F(x,y) = \frac{5}{2}x^2 + 4xy + g(y) $$
  2. Derivar $F(x,y)$ con respecto a $y$: $$ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{5}{2}x^2 + 4xy + g(y)\right) $$ $$ \frac{\partial F}{\partial y} = 0 + 4x(1) + g'(y) = 4x + g'(y) $$
  3. Igualar a $N(x,y)$ para hallar $g'(y)$: $$ 4x + g'(y) = 4x - 8y^3 $$ Cancelamos $4x$ en ambos lados: $$ g'(y) = -8y^3 $$
  4. Integrar $g'(y)$ y ensamblar la solución final: $$ g(y) = \int -8y^3 \, dy = -8 \left(\frac{y^4}{4}\right) = -2y^4 $$ Sustituimos $g(y)$ en nuestro paso 1 e igualamos a $C$:

Solución General Final:

$$ \frac{5}{2}x^2 + 4xy - 2y^4 = C $$